Кто обязан ремонтировать балконы?

Прежде всего установите причину протечки. а их может быть всего две:
1.вам неправильно застеклили балкон, устранять придется за свой счет.
2.у соседей сверху нарушена герметизация стыка балконной плиты со стеной. при этом вода течет по стене дома, затекает в квартиру. это вызывает коррозию металла и может привести к обрушению балкона. обращаться следует в управляющую компанию (тсж).
балконные плиты являются общедомовым имуществом (см. пост. пр-ва 491 п. 2.2 "в" и «г» ) и ремонтировать и восстанавливать их обязана управляющая компания ( ук) . за это вы ежемесячно платите по строке «содержание и ремонт» . а потому вы имеете полное право требовать от ук ремонта аварийного балкона. при обслуживании общедомового имущества ук обязана исполнять пост. госстроя рф от 27 сентября 2003 г. n 170 "об утверждении правил и норм технической эксплуатации жилищного фонда" ( в частности, по балконам см. пункты 4.2.4.1 – 4.2.4.3 и 4.2.1.5 – 4.2.1.7) , а также пункты 8, 24 части 2 статьи 2 федерального закона от 30 декабря 2009 г. n 384-фз "технический регламент о безопасности зданий и сооружений"
кроме того, есть решение верховного суда рф от 9 ноября 2011 г. n гкпи11-1727, где четко указано, что балконы - общедомовое имущество, а следовательно это зона ответственности ук.
http://www.domovodstvo.ru/fas/8912b9b5ccb925b444257951005d58d7.html