Может ли мать несовершеннолетнего ребенка сдавать его долю в квартире?

У вас не квартира разделена на доли, а каждый сособственник владеет долей в праве общей собственности на квартиру!
а право ни в аренду, ни в наем сдать невозможно (см. ст. п. 1 ст. 607 и п. 1 ст. 673 гк рф)!
и в аренду, и в наем можно сдать только квартиру (вещь) или ее часть (комнату), но... распоряжение общим имуществом (в т. ч. предоставление его в пользование третьим лицам по договору аренды или найма) согласно п. 1 ст. 246 гк рф осуществляется только по соглашению всех сособственников (участников долевой собственности на квартиру)!
так что никто из сособственников, в т. ч. законный представитель (мать) несовершеннолетнего сособственника не имеет законного права распоряжаться квартирой (и любой ее частью) единолично!
удачи.