У меня муниципальная квартира. должна я платить ежемесячно за найм?

Да. конечно
п. 1 ч. 1 ст. 154 жк рф:
плата за жилое помещение и коммунальные услуги для нанимателя жилого помещения, занимаемого по договору социального найма или договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, включает в себя:
1) плату за пользование жилым помещением (плата за наем);
....
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_51057/e589ad61e7bf786790619ac5fb65e50cfa8dfb58/
--------------------
приватизируйте и не будете платить за наем, будете платить взнос на капремонт и налог на имущество.