Квартирный вопрос!

Нам неизвестно, каковы основания приобретения в собственность вашей матери этой квартиры.
нам неизвестно, что вы имеете в виду, заявляя, что "при разводе отец отказался от этой квартиры в пользу меня".
вот если бы в браке по возмездной сделке эта квартира была бы приобретена в собственность матери, и являлась совм. нажитым в браке имуществом, и при разводе был раздел совм. нажитого в браке имущества, и мать и отец получили бы по 1/2 доле в собственность в резалте соглашения о разделе имущества или реш. суда, и после этого отец передал вам в собственность по договору дарения свою долю собственности, с регистр. перехода права собственности на вас, тогда можно было бы говорить о том, что "при разводе отец свою долю мне передал".
закажите в управлении росреестра по месту нахождения недвижимости выписку из егрп о зарегенных правах на объект недвижимости, в заявлении укажите адрес квартиры, узнаете из выписки- кто собственник.
если мать единственный собственник, и это подтвержд. свид. о собственности и выпиской из егрп, то мать вправе продать квартиру, и купить себе другую квартиру и может мать вас и бабушку вселить в новую квартиру в качестве членов семьи собственника, а может и не вселять, и будете вы с бабушкой бомжами.
если мать продаст квартиру, и вы останетесь проживать и будете зарегены и не будете освобождать квартиру, то вас с бабушкой как членов семьи бывшего собственника выселит новый собственник из купленной им квартиры по ст. 292 гк рф решением суда, и суд. приставы вынесут вас и бабушку вместе с вещами.
только в одном случае граждане сохраняют бессрочное право проживания и пользования- если они имели право приватизировать эту квартиру и добровольно отказались. но нам неизвестно, что там было у вас на самом деле.
поэтому определенно ответить невозможно на ваш вопрос: "выкинет или не выкинет мать на улицу".