Если я распишусь с девушкой, должна ли организация предоставить нам жильё?

Это вы с девушкой расписываетесь, а не организация. общежитие у вас не семейное, а ведомственное. с койко-местами. если девушка работает в той же организации и также имеет койко-место, можно попытаться выхлопотать у коменданта отдельную комнату в порядке исключения, но далеко не факт, что дадут.