Должна ли я?

Если договор соцнайма заключен с наймодателем от Вашего имени, Вы именуетесь на бюрократическом языке "Ответственный квартиросъемщик" (это обозначение не основано на законе, но является общепринятым в жилищных органах и в настоящее время). По закону все зарегистрированные на данной жилплощади граждане должны быть указаны в договоре соцнайма, однако неисполнение этого условия не делает договор недействительным.